Funcionesmatemáticas ¿Con qué se comen?

Ignacio Barradas

LA CIENCIA, COMO LA CONOCEMOS HOY EN DÍA, NO SERÍA CONCEBIBLE SIN EL CONCEPTO DE FUNCIÓN, UNA FORMIDABLE HERRAMIENTA MATEMÁTICA QUE NOS PERMITE EXPRESAR MUCHAS LEYES DE LA NATURALEZA Y SOLUCIONAR MULTITUD DE PROBLEMAS PRÁCTICOS EN LAS MÁS DIVERSAS DISCIPLINAS. NO ES FÁCIL explicar el éxito de los humanos como especie sin reflexionar sobre cuáles características le han permitido conquistar la superficie terrestre y quizá en un futuro, otros mundos. Mucho se ha dicho sobre su capacidad de crear herramientas, de hablar, de pensar en forma abstracta, de hacer arte. Una característica común a todas estas y muchas otras actividades, es la de asociar cosas de cierta categoría, con cosas de otra categoría. Se producen herramientas porque se les asocia con procesos útiles para el desarrollo de algún trabajo. Para hablar, asociamos sonidos a conceptos en nuestra mente, los cuales a su vez están asociados a ideas u objetos del mundo que nos rodea. "El mundo" para el ser humano es una gran colección de asociaciones. En ejemplos más concretos, podemos ver que nuestra tendencia a asociar unas cosas con otras es muy generalizada. Asociamos nombres distintos a lo que percibimos como sabores o colores diferentes. A cada momento en el tiempo asignamos un número del 1 al 12 o del 1 al 24 para saber qué hora es y subdividimos incluso esas unidades para hacer asociaciones cada vez más precisas. A cada objeto le asignamos textura, color y dimensiones para describirlo. Son numerosos los diferentes tipos de asociaciones que manejamos. Algunas son bastante libres, por ejemplo, asociamos en el lenguaje varias palabras (sinónimos) al mismo objeto. Otras son de un tipo especial, por ejemplo las llamadas "asociaciones uno a uno", aquellas en las cuales para cada elemento de la primera categoría existe uno y exactamente uno de la otra categoría que le corresponde. Tal es el caso de las coordenadas geográficas fuera de los polos; hay una correspondencia entre cada punto en la Tierra y una única terna de valores: longitud, latitud y altitud. ¿Será posible clasificar los diferentes tipos de asociaciones que manejamos y obtener mediante su estudio información adicional? La respuesta es sí, y es el concepto matemático de función el que permite tal estudio. La función de la función En matemáticas, el concepto de función se utiliza para describir relaciones entre elementos de conjuntos. En este contexto a los elementos se les llama variables, pues al describir la relación entre ellos, se considera que se les puede ir variando o tomando uno primero y otro después. El término función tiene una historia larga y su significado se ha ido modificando para describir cosas cada vez más generales. Fue introducido por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien lo usó para designar la potencia "n" de una variable "x", lo que hoy en día escribiríamos como xn, sólo que en aquel entonces esta notación no era usual. De hecho, fue Descartes uno de los introductores de tal manera abreviada de escribir. Años más tarde, en 1694, el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz usó el término función para referirse a distintos aspectos de una curva. No fue sino hasta el siglo XIX, concretamente en 1829, que otro matemático alemán, Peter Dirichlet, introdujo los conceptos de variable dependiente e independiente de una función entre los conjuntos A y B de números. El término de variable independiente se usa aún hoy en día para denotar a los elementos del conjunto A, ya que aunque el elemento elegido puede variar sobre todos los elementos de A, esa variación es independiente de cuál sea la relación entre los dos conjuntos. El término variable dependiente se aplica a los elementos de B. Esto subraya el hecho de que dependen de la elección que se haya hecho del elemento en A y de la relación entre los dos conjuntos. En el curso del siglo XIX e inicios del XX, después de la introducción de la teoría de conjuntos, se vio que resultaba conveniente definir el concepto de función en una forma que incluyera no sólo a funciones numéricas, sino asociaciones mucho más generales. Guadalajara = ƒ(Jalisco) En matemáticas una función consta, dicho de manera más o menos formal, de dos conjuntos, A y B, y una regla de asociación entre ellos con las siguientes dos propiedades: i) Para cada elemento de A existe un elemento de B que es su asociado. ii) No hay elementos de A que tengan más de un asociado. Al conjunto A se le conoce como el dominio de la función y al conjunto B como el contradominio. Como ejemplo de función podemos considerar al conjunto A como el de los números enteros del 1 al 10 y a B como el conjunto de los números 1, 2 y 3. Una regla de asociación puede ser: si un número es par, se asocia al 2, si es impar se asocia al 1. Ésta es una asociación de A a B que tiene las propiedades para ser una función; a cada elemento de A le corresponde uno y sólo uno de los elementos de B. En este caso no sólo hay elementos de B que están asociados a más de un elemento de A, sino que también hay un elemento en B, el 3, que no se asocia a ninguno de los elementos de A. Esto no es problema, pues en la definición de función no se pidió que los elementos de B estuvieran asociados a sólo un elemento de A o siquiera a elementos diferentes. Es también importante observar que si los conjuntos A o B en la definición de una función cambian, la función cambia. Esto parecería una distinción ociosa, pero cuando se estudian tipos especiales de funciones, se ve que su distinción puede depender fuertemente de los conjuntos A y B, y no solamente de la regla de asociación, pues si se desea que una cierta propiedad se cumpla para todos los elementos de A o B, el verificarlo dependerá de quién es A o quién es B. Aunque en matemáticas se trabaja la mayor parte del tiempo con funciones que asocian valores numéricos con valores numéricos, una función puede estar definida entre cualesquiera dos conjuntos. Considérese por ejemplo, al conjunto A como la totalidad de estados de la República Mexicana y al conjunto B como la totalidad de ciudades del país. La regla de una función entre estos dos conjuntos podría ser que a cada estado le corresponda su ciudad capital. Dado un estado, siempre hay una ciudad que es su capital, es decir, se satisface la condición i). La condición ii) también se cumple, pues no hay estados de la República con dos o más capitales. En el conjunto B hay muchas ciudades más que las capitales, por lo que no todos los elementos de B están asociados a alguno de A, pero sí todos los de A a alguno de B. Si se toma un elemento x del conjunto A y se quiere denotar su asociado "y" en B bajo la función ƒ, se acostumbra escribir y = ƒ(x), lo cual se lee como "y es función de x". Cada vez que se sustituya un valor de x, se obtendrá el correspondiente asociado, según la regla dada por la función. En el ejemplo de los estados y sus ciudades tendríamos Guadalajara = ƒ(Jalisco) y Morelia = ƒ(Michoacán). Funciones numéricas En un gran número de casos, cuando se aplica el concepto de función para describir situaciones reales, los conjuntos A y B entre los que se define la función, resultan ser conjuntos de números; a instantes del tiempo asignamos temperaturas, valores de velocidad, humedad, etc. En general, la variable independiente será una cantidad tal como tiempo, tamaño, posición, etc., y la variable dependiente será alguna propiedad que le asignemos, como la temperatura, la edad, etc. En dichos casos hablamos de funciones numéricas y la citada regla de asociación vendrá dada con frecuencia por una fórmula, del tipo ƒ(x) = x2 - 3x + 5, lo que debe ser entendido así: cada vez que se elija un valor numérico x de A, le corresponderá el número que se obtenga de sustituir x en la fórmula. Por ejemplo, si el conjunto A es el de todos los números positivos, al 5 se le asociará el 15, ya que al sustituirlo en la fórmula se obtiene 52-3(5)+5 = 25- 15+5 = 15. En el mismo ejemplo ƒ(3) = 5, ya que 32-3(3)+5 = 5. De la misma manera se encontrarían los asociados de los demás elementos. Una razón muy importante de que las reglas de asociación vengan dadas a menudo en forma numérica es que la ciencia en su versión actual intenta describir todo no sólo cualitativamente sino también cuantitativamente; un evento se considera mejor entendido si se le pueden asociar cifras y, mejor aún, si se pueden hacer predicciones de valores de las variables involucradas. Por ejemplo, en la meteorología nos interesa saber los valores de temperatura, humedad, velocidad de viento, etc. que predominarán en una cierta región en los días venideros. En la economía nos interesaría saber cómo van a variar los precios de bienes y servicios para invertir en la opción más prometedora. En la química se desea saber cuánto de tal o cual sustancia y a qué temperatura, presión, etc. generará tal cantidad de otra sustancia. La utilidad de las funciones es muy amplia y variada. Imaginemos, por ejemplo, que se desea saber la concentración de un contaminante en el lecho de un río, por ejemplo, del cadmio. Para ello se realizan un cierto número de mediciones a intervalos de tiempo conocidos y se miden algunas otras variables como son temperatura, densidad, volumen de agua que fluye, etc. Al analizar los datos se da uno cuenta de que las cantidades parecen cumplir una cierta regla, la cual se puede expresar en términos de una función. Con algunas pruebas estadísticas se puede saber si la función que se cree que describe la relación entre las variables ajusta bien a los puntos obtenidos en la medición. Si así fuera el caso, se supone que la función será entonces útil para obtener valores de las concentraciones de cadmio, incluso para rangos de valores diferentes a los que se midieron. Por ejemplo, se podría querer saber qué concentraciones hubo entre dos instantes de tiempo en los que sí hubo mediciones. A dicho proceso se le conoce como "interpolación". Si se deseara saber qué valores de la concentración de cadmio se tendrán para valores más allá del periodo de tiempo en el que se midió, el proceso se llama "extrapolación". ¿Función o ecuación? En muchos casos concretos la regla de asociación de una función viene dada en forma de una fórmula o ecuación. Esto hace en ocasiones difícil distinguir los conceptos de función y ecuación. Ya vimos que una función consta de un par de conjuntos y una regla de asociación. En el caso de la ecuación tenemos solamente una igualdad entre dos expresiones que normalmente involucra cantidades desconocidas, llamadas también variables. Las variables se denotan usualmente por las últimas letras del alfabeto (otra idea original de Descartes). Así, por ejemplo, las ecuaciones x2+ x - 4 = 8, y = sen (x), y x = cos (y + z)/4 son ecuaciones en una, dos y tres variables, respectivamente. Se dice que una ecuación se satisface si al reemplazar las variables con los valores correspondientes la igualdad se verifica. Por ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 13 se satisface para x = 4. Así pues, aunque los conceptos de ecuación y el de función están fuertemente relacionados, es importante distinguir que en el primer caso se trata sólo de una igualdad, mientras que en el segundo se involucran dos conjuntos y una regla de asociación, que puede venir dada en forma de ecuación. Así, por ejemplo, tenemos que para un triángulo de base b, altura h y área A, se satisface la siguiente ecuación A = 1/2 bh. Esta expresión en particular nos dice que el valor del área de un triángulo está en función de su base y su altura. Aunque para describir eso como una función necesitamos especificar qué elementos constituyen a los conjuntos A y B. Sin conjuntos en los cuales esté definida la relación tenemos una ecuación, no una función. De la vista nace el amor A menudo se indica una función por medio de su gráfica. Esto tiene razones prácticas de ser y resulta muy cómodo. Tal es el caso de mediciones de temperatura, presión, altura de las mareas o velocidad del viento, por mencionar sólo algunos ejemplos. El ser humano tiene una gran habilidad para interpretar la información que se le presenta en forma visual. Si vemos la gráfica de un proceso, tal como la de la variación de la temperatura diaria en un lugar o la del indicador bursátil, podemos reconocer ciertas tendencias. De la misma manera, si queremos recalcar tendencias en el comportamiento de un fenómeno, ya sea oscilatorio, o de incremento o decremento, lo podremos argumentar presentando la información en forma gráfica, es decir, mostrando la gráfica de lo que creemos que es la función que describe el proceso. Quien haya visto una gráfica del crecimiento de la población en nuestro país o en el mundo se podrá dar cuenta inmediatamente que muestra lo que los demógrafos llaman crecimiento exponencial, es decir, un crecimiento cada vez más rápido. ¿Cómo se grafica una función? Veamos un par de ejemplos. Si se tiene una función, ƒ, para la cual tanto el conjunto dominio de la función, A, como el contradominio, B, son conjuntos de números, podemos recurrir a las ideas de la geometría analítica para representarla gráficamente. Para ello se utilizan las llamadas coordenadas cartesianas: se trazan dos rectas perpendiculares, la primera de las cuales se dibuja por lo general horizontalmente y se denota como el eje x, la recta vertical se denota como eje y. Estando ambos ejes marcados cada uno por una unidad específica (de distancia, tiempo, etc.) y subdivididos en las fracciones que sea necesario, se procede a buscar todos los puntos de coordenadas (x,y) donde y = ƒ (x). Por ejemplo, la gráfica de la función y = 2x es una recta que pasa por el origen (el punto donde x y y son iguales a cero) y que tiene pendiente 2; es decir, cualquier punto de la recta se encuentra al doble de distancia del eje horizontal que del vertical. La función cuadrática y = a + bx + cx2, con c diferente de 0, es una parábola. La función y = 2x podría representar la posición de un objeto que se mueve a velocidad constante (en el eje x se representa el tiempo y en el eje y la posición), o bien la fuerza ejercida por un resorte comprimido (el eje x corresponde a qué tan comprimido está y el eje y a la fuerza que el resorte ejerce). La función cuya gráfica es una parábola puede ser la representación de la distancia (eje y) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo (eje x), o la resistencia del aire (eje y) que afecta a un avión en función de la velocidad (eje x) a la que va. De lo complejo a lo simple El estudio de las funciones desde el punto de vista matemático es muy importante, ya que en muchas ocasiones no basta con un análisis visual del comportamiento de una función. Con frecuencia quisiéramos sacar más información de los datos representados. Esto se logra aplicando diferentes técnicas de las matemáticas, como son el cálculo diferencial e integral, las ecuaciones diferenciales, la estadística o el álgebra. Para ello es importante definir la suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. ¿Qué ventajas hay en definir funciones nuevas a partir de las originales? Pues bien, habiendo definido estas nuevas funciones se tiene ahora la oportunidad de hacer "álgebra de funciones". Esto tiene aplicaciones muy importantes. Piénsese que se estudia un fenómeno y que se tiene la sospecha de que los datos que se están observando o midiendo son el resultado de la superposición de varios fenómenos. En tal caso, la función que se ajuste a los datos medidos, será el resultado de la suma de varias funciones más. El encontrar dichas funciones puede significar descomponer el fenómeno observado en partes que lo constituyen. Esto quiere decir entender un problema complejo como suma de partes más simples. Existen muchos tipos de funciones y su clasificación tomaría mucho espacio, baste decir que un tipo muy importante es aquel cuya regla de asociación no se define en forma explícita, sino a través de alguna condición que la función debe satisfacer. Usualmente esto corresponde a una ley de la naturaleza. Más aún, se puede decir que el cálculo diferencial e integral fue inventado para encontrar funciones que satisficieran ciertas leyes de la naturaleza. En muchos casos, resolver un problema científico consiste en encontrar la función que relaciona dos o más variables: las leyes de Kepler , por ejemplo, describen las órbitas de los planetas, es decir, son reglas de asociaciones representadas como ecuaciones que describen cómo se mueven los planetas alrededor del Sol. Una de ellas nos permite calcular el tiempo que tardan los planetas en recorrer su órbita completa en función de la distancia promedio a la que se encuentran del Sol. Las leyes que aprendemos en las clases de química y física que vienen expresadas en términos de fórmulas nos dicen que cada una de las variables es función de las otras. Así, sabiendo por ejemplo que la ley de Ohm se expresa como V = IR, donde V es el voltaje en un circuito, I la intensidad de corriente, y R la resistencia, si conocemos cualesquiera dos de las variables involucradas, la otra es función de ellas, y podemos calcularla. El concepto de función es pues no sólo uno de los pilares de la matemática moderna, sino de la ciencia en su conjunto. Sin él no se podría concebir la construcción del conocimiento científico como se hace hoy en día.